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@Maggui Hola Maggui! $f'(x)$ vos la podés escribir de cualquiera de estas tres maneras y las tres son equivalentes y están bien:
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@Benjamin
Otra
manera de verlo es que tenés dos expresiones multiplicándose que nunca
valen cero (no hay ningún $x$ que vos puedas meter en $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} $ que haga que eso valga cero)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
b) $f(x)=2-x^{\frac{1}{3}}$
b) $f(x)=2-x^{\frac{1}{3}}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
No hay ninguna restricción, el dominio es $\mathbb{R}$.
2) Derivamos $f(x)$
$ f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} $
Muchísimo ojo acá. Consejo, reescribite esa derivada así, que todo se va a ver más claro:
$ f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} } $
😱 El dominio de $f'(x)$ no es el mismo que el de $f$. De hecho, ya estás viendo seguramente que el dominio de $f'(x)$ no incluye a $x=0$. Pero $x=0$ siiii estaba en el dominio de $f(x)$. Como vimos en clase, automáticamente ya $x=0$ es un punto crítico (candidato a máximo o mínimo)
Veamos ahora si hay otros puntos críticos igualando la derivada a cero:
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$ -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} } = 0 $
Esta ecuación nunca vale cero. Por lo tanto, el único punto crítico es $x=0$
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
$\square (-\infty, 0)$
$\square (0, +\infty)$
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
Acá podés elegir un número cualquiera que pertenezca a cada intervalo y te fijas el signo de $f'(x)$. Pero de todas formas, si mirás con cariño la expresión de $f'(x)$ te vas a dar cuenta que siempre siempre es negativa, no importa que $x$ vos pongas ahí. Por lo tanto $f$ es siempre decreciente.
Intervalo de crecimiento: $\emptyset$
Intervalo de decrecimiento: $\mathbb{R}$
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Maggui
21 de mayo 19:38
hola, una duda, yo deje f'(x)= -1/3*1/x^2/3, y haciendolo asi me da resultados positivos, pero se supone que la forma en la que yo escribi f'(x) es equivalente a la que vos nos sugeriste que usaramos, que estaria haciendo mal?
Flor
PROFE
21 de mayo 21:39
$ f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} } $
¿Cuál es la diferencia? Dependiendo lo que yo tenga que hacer después con $f'(x)$ probablemente me convenga más pensarla de una manera u otra. Por ejemplo, en este caso, si vos dejabas $f'(x)$ escrita así
$f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$
corrías el riesgo de no darte cuenta que la $x$ estaba en el denominador y por lo tanto $x=0$ no podía estar en el dominio. Por eso yo preferí reescribirla para que se vea bien.
En cambio, si hubieramos necesitado por ejemplo derivar una ves más $f'(x)$ para obtener $f''(x)$, ahí seguro nos hubiera convenido dejarla escrita así
$f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$
para derivarla bien fácil usando las reglas para polinomios
Se entiende la idea?
Nada, quería aprovechar tu pregunta para refrescar eso jaja... Ahora, con respecto a por qué te da positivo al evaluar $f'(x)$ en cualquier número, seguramente estás teniendo algún error al ponerlo en la calcu... ¿te estarás olvidando algún paréntesis cuando lo ponés? Por ej, si querés evaluar en $x=-2$, deberías estar poniendo (-2)^(2/3), y después 1/Ans y después -1/3 * Ans
Se entiende el camino? Avisame porfa si lo lograste, sino lo seguimos viendo con foto de la calcu si es necesario jaja
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Flor
PROFE
20 de mayo 17:35
Hay más de una manera de ver que nunca vale cero, por ahí te sirve pensarlo así: Si vos quisieras despejar acá
$ -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} } = 0 $
ponele que pasas el $3 \sqrt[3]{x^2} $ del denominador multiplicando para el otro lado, y te queda
$-1 = 0$
que es un absurdo.
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