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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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1. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
b) f(x)=2−x13f(x)=2-x^{\frac{1}{3}}

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

No hay ninguna restricción, el dominio es R\mathbb{R}.

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=−13x−23 f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}

Muchísimo ojo acá. Consejo, reescribite esa derivada así, que todo se va a ver más claro:

f′(x)=−13x−23= −13⋅1x2/3= −13⋅1 x23   f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{  \sqrt[3]{x^2}  }  

😱 El dominio de f′(x)f'(x) no es el mismo que el de ff. De hecho, ya estás viendo seguramente que el dominio de f′(x)f'(x) no incluye a x=0x=0. Pero x=0x=0 siiii estaba en el dominio de f(x)f(x). Como vimos en clase, automáticamente ya x=0x=0 es un punto crítico (candidato a máximo o mínimo)

Veamos ahora si hay otros puntos críticos igualando la derivada a cero:

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

−13⋅1 x23 =0 -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{  \sqrt[3]{x^2}  } = 0  

Esta ecuación nunca vale cero. Por lo tanto, el único punto crítico es x=0x=0

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

□(−∞,0)\square (-\infty, 0)
□(0,+∞)\square (0, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

Acá podés elegir un número cualquiera que pertenezca a cada intervalo y te fijas el signo de f′(x)f'(x). Pero de todas formas, si mirás con cariño la expresión de f′(x)f'(x) te vas a dar cuenta que siempre siempre es negativa, no importa que xx vos pongas ahí. Por lo tanto ff es siempre decreciente.

Intervalo de crecimiento: ∅\emptyset
Intervalo de decrecimiento: R\mathbb{R}

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Maggui
21 de mayo 19:38
hola, una duda, yo deje f'(x)= -1/3*1/x^2/3, y haciendolo asi me da resultados positivos, pero se supone que la forma en la que yo escribi f'(x) es equivalente a la que vos nos sugeriste que usaramos, que estaria haciendo mal?
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 21:39
@Maggui Hola Maggui! f′(x)f'(x) vos la podés escribir de cualquiera de estas tres maneras y las tres son equivalentes y están bien:

f′(x)=−13x−23= −13⋅1x2/3= −13⋅1 x23   f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2/3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{  \sqrt[3]{x^2}  }  

¿Cuál es la diferencia? Dependiendo lo que yo tenga que hacer después con f′(x)f'(x) probablemente me convenga más pensarla de una manera u otra. Por ejemplo, en este caso, si vos dejabas f′(x)f'(x) escrita así

f′(x)=−13x−23f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} 

corrías el riesgo de no darte cuenta que la xx estaba en el denominador y por lo tanto x=0x=0 no podía estar en el dominio. Por eso yo preferí reescribirla para que se vea bien. 

En cambio, si hubieramos necesitado por ejemplo derivar una ves más f′(x)f'(x) para obtener f′′(x)f''(x), ahí seguro nos hubiera convenido dejarla escrita así

f′(x)=−13x−23f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} 

para derivarla bien fácil usando las reglas para polinomios

Se entiende la idea? 

Nada, quería aprovechar tu pregunta para refrescar eso jaja... Ahora, con respecto a por qué te da positivo al evaluar f′(x)f'(x) en cualquier número, seguramente estás teniendo algún error al ponerlo en la calcu... ¿te estarás olvidando algún paréntesis cuando lo ponés? Por ej, si querés evaluar en x=−2x=-2, deberías estar poniendo (-2)^(2/3), y después 1/Ans y después -1/3 * Ans 

Se entiende el camino? Avisame porfa si lo lograste, sino lo seguimos viendo con foto de la calcu si es necesario jaja
0 Responder
Benjamin
20 de mayo 8:21
Buenas, la ecuacion nunca vale 0 por el dominio de f´(x) no?
0 Responder
Flor
PROFE
20 de mayo 17:35
@Benjamin
Hay más de una manera de ver que nunca vale cero, por ahí te sirve pensarlo así: Si vos quisieras despejar acá

−13⋅1 x23 =0 -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{  \sqrt[3]{x^2}  } = 0

ponele que pasas el 3x233 \sqrt[3]{x^2} del denominador multiplicando para el otro lado, y te queda

−1=0-1 = 0

que es un absurdo.

Otra manera de verlo es que tenés dos expresiones multiplicándose que nunca valen cero (no hay ningún xx que vos puedas meter en 1x23\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} que haga que eso valga cero)
1 Responder